Аннотации курсов

ДНМ05
Математическая теория обратной связи

Курс посвящен решению задач линейной и нелинейной динамики и управления. В нем рассматривается основная задача теории управления – проблема синтеза управляющих воздействии по принципу обратной связи, на основе полных и неполных измерений текущего состояния системы. В основе курса лежит изложение формализма Гамильтона-Якоби-Беллмана для вариационных задач, мотивированных проблемами управления в системах описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Обсуждаются приложения излагаемой теории к проблемам управления движением, задачам экономической и финансовой динамики.

СДМ01
Многокритериальные задачи принятия решений

Курс посвящен теории многокритериальной оптимизации и методам поддержки принятия решений при нескольких критериях. Излагаются и сравниваются между собой наиболее известные многокритериальные методы, такие как методы, основанные на построении функции предпочтений, итерационные методы поиска предпочтительного решения, методы представления эффективного множества, в том числе метод достижимых целей. Особое внимание уделяется свойствам множества достижимости значений критериев.

СДМ02
Идентификация динамических систем

В данном курсе рассматриваются задачи идентификации неизвестных параметров систем, динамика которых описывается дифференциальными или разностными уравнениями, на основе априорной информации об этих параметрах, а также наблюдений за поведением системы. В данном курсе основное внимание уделяется подходам к задаче идентификации с точки зрения теорий стохастического и гарантированного оценивания, а также их комбинации. В курсе будет разъяснено, как решение задачи идентификации может быть использовано для решения таких вопросов как управление системой, прогнозирование ее будущего поведения и смежных вопросов.

СДМ03
Математические модели экономической динамики

В рамках курса представлен аппарат, который используется при анализе на языке математических моделей экономических процессов. В предлагаемом курсе отражен опыт и точка зрения исследовательской группы долгое время работавшей в области математического моделирования сначала западной, потом советской, а в последнее время современной российской экономики.

СДМ04
Математические модели финансовой динамики

Первая часть курса посвящена основам мартингальной техники, необходимой для решения задач стохастической финансовой математики. На основе подхода ожидаемой полезности по фон Нейману и Моргенштерну формализуются задача оптимального инвестирования и задача ценообразования и хеджирования обусловленных обязательств по опционам. В курсе используется оригинальный подход – игровая интерпретация задачи гарантированного ценообразования для обусловленных обязательств по опционам.

Семинары предполагается осуществлять в форме практических занятий. Часть задач предполагается вынести в компьютерный практикум. Модификация данного курса будет состоять в дополнении его вновь разрабатываемыми заданиями практических занятий, в том числе, организации компьютерного практикума.

Краткая аннотация научного семинара:
На семинаре будут рассматриваться модели сложных систем на примере следующих задач: управление потоками информации в компьютерных сетях; управление транспортными потоками в сети автострад; устойчивость и управление современной электроэнергетической системой. Обсуждаются математические средства, позволяющие обеспечить теоретическое рассмотрение указанных задач с последующей разработкой программного обеспечения.

СДМ05
Системный анализ в задачах окружающей среды

В курсе рассматриваются математические модели атмосферной диффузии. Обсуждаются задачи окружающей среды, моделируемые при помощи упомянутых уравнений. В терминах теории систем излагается теория наблюдения и гарантированного оценивания для уравнений в частных производных, задачи управления, а также общие задачи идентификации систем с распределенными параметрами. Рассматриваются математические постановки задач, мотивируемые проблемами экологического мониторинга. Излагаются методы регуляризации некорректно поставленных задач, основанные на схемах А.Н.Тихонова и Ж.Л.Лионса. Предлагается унифицированный подход к решению таких задач с учетом системной динамики рассматриваемых бесконечномерных процессов. Особое внимание уделяется изучению обратных задач оценивания решений бесконечномерных систем по конечномерным наблюдениям.

Практические занятия. Рассматриваются математические постановки задач, мотивируемые проблемами экологического мониторинга. Рассматриваются задачи оценивания степени загрязнения атмосферы на основе измерений, задачи оптимального размещения предприятий и жилых массивов в условиях экологических ограничений, прогнозирование экологической обстановки.
Практикум. Рассматриваются методы компьютерного моделирования решений задач атмосферной диффузии, в частности, при помощи средств компьютерной графики. Проводится моделирование эффекта движущихся источников загрязнения на состояние окружающей среды.

СДМ06
Гибридные системы (динамика и управление)

Курс посвящён новому классу моделей для процессов динамики и управления - так называемым гибридным системам. Описание таких систем сочетает модели с непрерывным временем с дискретными моделями. Система может осуществлять непрерывные движения, следуя одной из моделей из заданного набора и переключаться с одной модели на другую. Процессом переключения управляет дискретная система, моделируемая, например, конечным автоматом или иным способом. Таким путём удаётся описывать движение весьма сложных систем. В курсе приводятся примеры гибридных систем и их математическая формализация. Излагаются общие подходы к построению теории гибридных систем. Рассматриваются задачи устойчивости, управления и наблюдения для таких систем. Особое внимание уделяется вычислительным аспектам, играющим ведущую роль в разработке методов решения указанных выше задач.

Практикум. Разрабатываются алгоритмы вычисления множеств достижимости для гибридных систем при помощи эллипсоидальных аппроксимаций. Рассматриваются гибридные системы, состоящие из линейных подсистем управления, которые позволяют описывать достаточно сложную динамику удобным образом: с помощью простых подсистем - линейных систем управления, и автомата, осуществляющего переключения между подсистемами. Все это позволяет использовать средства, разработанные для линейных систем управления, например, эллипсоидальные методы, к исследованию гибридных систем. Особенностью гибридных систем является то, что области достижимости не обязательно будут выпуклыми (и даже связными), как в случае линейных систем управления.

СДМ07
Математическая теория коммуникаций

В рамках данного курса предполагается знакомство студентов с математическими моделями модуляции и демодуляции сигналов и моделями передачи информации по линейным каналам (с памятью и без памяти) с аддитивным белым и цветным шумами. Особое внимание предполагается уделить математическим задачам о выборе оптимального способа кодирования при заданных характеристиках канала, а также вопросу сетевой синхронизации.

СДМ08
Теория устойчивости движения и задачи стабилизации

В данном курсе приводятся основные положения теории устойчивости движения А.М.Ляпунова. Рассматриваются теоремы об устойчивости, асимпотитеской устойчивости и неустойчивости. Излагается прямой метод Ляпунова, теория функций Ляпунова, теорема Барбашина-Красовского. Обсуждается обращение теорем об устойчивости, устойчивость по первому приближению. Подробнее рассматривается устойчивость линейных систем: критерий Рауса-Гурвица, уравнение Ляпунова, периодические системы и теория Флоке. Указываются применения векторных и негладких функций Ляпунова. Поясняются вопросы устойчивости разностных систем и систем с запаздыванием.
Излагаются задачи стабилизации движений, линейно-квадратичная задача стабилизации. Рассматриваются нелинейные системы, «управляющие» функции Ляпунова. Приводится теория стабилизации линейных систем, условия стабилизируемости, метод алгебраического уравнения Риккати.

СДМ10
Основы многозначного анализа

В рамках данного курса излагаются основы выпуклого анализа. Доказываются базовые теоремы, такие как, теорема Каратеодори и ее приложения и теоремы об отделимости. Рассматриваются сопряженные функции и их основные свойства, теорема Фенхеля-Моро, опорные и индикаторные функции и их сопряженные. В курсе также даются определения многозначного отображения. Рассматриваются различные классы многозначных отображений и формулируются их основные свойства. Также дается понятие о дифференциальном включении, определяются его решения, доказывается теорема о существовании решения дифференциального включения. Приводятся некоторые приложения дифференциальных включений в теории управления.

СДМ11
Динамические системы и модели биологии

В данном курсе рассмотриваются следующие вопросы.
Свойства автономных динамических систем. Теорема Лиувилля, лемма о выпрямлении поля, первые интегралы, движение в потенциальном поле. Устойчивость неподвижных точек по Ляпунову. Функция Ляпунова. Теоремы Ляпунова. Предельные множества. Теорема Бендиксона - Пуанкаре. Индексы и отображение Пуанкаре. Теорема о центральном многообразии. Бифуркация Андронова-Хопфа. Математические модели взаимодействующих популяций: модель «хищник-жертва» Лотка – Вольтера, соревнование видов, модель Гаузе - Колмогорова. Пищевые цепи. Циклическое соревнование видов. Математическая модель предбиологической эволюции. Модель взаимодействия загрязнения с окружающей средой. Модели терапии и распространения эпидемий. Уравнение Фишера – Колмогорова.