Магистерское и послевузовское образование

Магистерская программа Программное обеспечение вычислительных сетей.

1. Концепция Глобальной информационной инфраструктуры (GII)
2. Соглашение и спецификация сервиса сетевых протоколов (Рекомендация X210)
3. Алгоритмы планирования процессов в современных ОС.
4. Методы синхронизации процессов и методы предотвращения тупиковых ситуаций в операционных системах.
5. Классификации архитектур вычислительных систем. Способы организации высокопроизводительных систем и основные принципы функционирования. Характеристики производительности, реальная и пиковая производительность, ускорение и эффективность.
6. Основные средства разработки для систем с общей и распределенной памятью. Основные характеристики пакетов OpenMP, Posix Threads, MPI, поддержка многопоточности в современном С++.
7. Эталонная модель Взаимодействия Открытых Систем (OSI). Функции уровней. Функции подуровня управления доступом к среде в многоабонентской сети. Назначение устройств объединения сетей: концентраторов, мостов, коммутаторов, маршрутизаторов.
8. Маршрутизация в глобальной компьютерной сети Интернет. Таблицы маршрутизации. Методы продвижения дейтаграмм (Forwarding). Задача выбора маршрутов (Routing): основные алгоритмы, их достоинства и недостатки.
9. Базы данных: Нормальные формы
10. Базы данных: Уровни изоляции транзакций
11. HTTP протокол: структура, команды, заголовки, поддержка сессий.
12. Сетевые протоколы в системах Интернета Вещей: MQTT, CoAP.
13. Средства нотации языка UML для описания статической структуры модели системы (Static Structure diagram). Классификаторы на диаграмме статической структуры.
14. Стереотипы как средства расширения языка UML. Стереотипы и значения с тегами как средство расширения языка UML.
15. Представление атрибутов и операций классификаторов. Свойства классификаторов, свойства атрибутов и операций.
16. Типы данных языка UML. Параметризованные и порожденные классы.
17. Структурирование модели системы на пакеты, модели и подсистемы.
18. Представление обозначений нотации языка UML для классификаторов с помощью конструкций языков C++, C#, Java.
19. Метамодель языка UML 2.0. Моделирование отношения "владелец-собственность" с помощью базового класса метамодели Element.
20. Моделирование направленных отношений с помощью класса метамодели DirectedRelationship.
21. Основные понятия и определения, относящиеся к информационной безопасности. Алгоритмы симметричного шифрования.
22. Криптография с открытым ключом. Основные способы использования алгоритмов с открытым ключом. МАС и способы обеспечения целостности сообщения. Алгоритмы RSA и Диффи-Хеллмана. Инфраструктура открытого ключа.
23. Основные уязвимости в веб-приложениях и способы их предотвращения.
24. Основные понятия и примеры прикладных задач машинного обучения. Постановка задачи классификации и регрессии. Основные методы классификации и регрессии: линейные модели регрессии и классификации, логистическая регрессия, нейронные сети, метрические методы, метод опорных векторов. Критерии выбора моделей и отбора признаков.
25. Методы ансамблирования в машинном обучении: бэггинг и бустинг, примеры алгоритмов. Алгоритмы машинного обучения без учителя. Постановка задачи кластеризации. Алгоритм k-средних и EM-алгоритм.

Программа госэкзамена по направлению 01.04.02 ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА
(общая часть для программ Прикладные интернет-технологии, Большие данные, Высокопроизводительные вычисления)

1. Модель цепной реакции в диффузионном приближении. Расчет критической массы реактора.
2. Модель Лотки-Вольтерра. Периодические колебания численности популяций.
3. Раскраски графов, хроматическое число графа. Критерий двухцветности графа. Теорема об оценке хроматического числа графа. Теорема Брукса (только формулировка). ([1] стр. 152-153, 32)
4. Наследственные свойства графов. Теорема об оценке наибольшего числа ребер в графе с наследственным свойством. Теорема о наибольшем числе ребер в графе без треугольников. Теорема Турана (только формулировка). [1] (Литература. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973.)
5. Симплекс-метод для канонической задачи линейного программирования: идея метода и ее реализация, выбор стартовой угловой точки. См. материалы курса на сайте
6. Итерационные методы минимизации: скорейшего спуска, проекции градиента и Ньютона. См. материалы курса на сайте
7. Алгоритмы планирования процессов в современных ОС.
8. Методы синхронизации процессов и методы предотвращения тупиковых ситуаций в операционных системах.
9. Классификации архитектур вычислительных систем. Способы организации высокопроизводительных систем и основные принципы функционирования. Характеристики производительности, реальная и пиковая производительность, ускорение и эффективность.
10. Основные средства разработки для систем с общей и распределенной памятью. Основные характеристики пакетов OpenMP, Posix Threads, MPI, поддержка многопоточности в современном С++.
11. Эталонная модель Взаимодействия Открытых Систем (OSI). Функции уровней. Функции подуровня управления доступом к среде в многоабонентской сети. Назначение устройств объединения сетей: концентраторов, мостов, коммутаторов, маршрутизаторов.
12. Маршрутизация в глобальной компьютерной сети Интернет. Таблицы маршрутизации. Методы продвижения дейтаграмм (Forwarding). Задача выбора маршрутов (Routing): основные алгоритмы, их достоинства и недостатки.

Магистерская программа Прикладные интернет-технологии. Дополнительная часть.

1. Типы веб-ресурсов.
2. Языки разметки для описания веб-ресурсов.
3. Каскадные таблицы стилей для формирования веб-страниц.
4. Семейство протоколов ТСР/IP.
5. Методы проекирования коммерческих веб-ресурсов.
6. Основные этапы конструирования веб-ресурсов.
7. Веб-серверы.
8. Технологии программирования веб-приложений.
9. Веб-сервисы.
10. Инструментальные средства конструирования веб-ресурсов.

Литература

1. Полонская Е.Л. Язык HTML. СПб.: Диалектика, 2003.
2. Пауэлл Т. Web-дизайн. - СПб.: БХВ-Петербург, 2004.
3. Танненбаум Э. Компьютерные сети. СПб.: Питер, 2005.
4. Успенский И. Интернет как инструмент маркетинга. СПб.: БХВ-Петербург, 2006.
5. Силва С. Администрирование веб-серверов. М.:Кудиц-Образ, 2004.
6. Вейтман В. Программирование для Web. М.: Издательский дом "Вильямс", 2000.
7. Ньюкомер З. Веб-сервисы: XML, WSDL, SOAP и UDDI. СПб.: Питер, 2003.

1.Методы статической и динамической балансировки загрузки процессоров: сдваивания, геометрического параллелизма, коллективного решения, конвейерного параллелизма, диффузной балансировки загрузки.
2. Декомпозиция расчетных сеток: критерии и методы.
3. Параллельные алгоритмы сортировки данных.
4. Параллельные алгоритмы обработки графов. Алгоритм Беллмана-Форда, алгоритм дельта-степпинга, алгоритм Борувки, Лувенский алгоритм, алгоритм распространения метки, алгоритм Брандеса.
5. Два режима работы НС (обучение, вычисление): цель и основные принципы. Клеточные автоматы: определение, элементарные клеточные автоматы, классификация Вольфрама, двумерные клеточные автоматы, типы окрестностей, игра "Жизнь", параллельная реализация.
6. Системы Линденмайера: определение, D0L системы, графическая интерпретация, другие типы L-систем: контекстно-свободные, стохастические, параметрические, особенности параллельной реализации.
7. Генетические алгоритмы: операторы генетических алгоритмов, особенности кодирования (двоичное, целочисленное, непрерывное, перестановками), сходимость генетических алгоритмов (теория схем), островная модель, клеточные генетические алгоритмы.
8. Методы роевой оптимизации: понятие роевых алгоритмов, принципы Рейнолдса, метод роя частиц, муравьиные алгоритмы, алгоритм бактериального поиска, пчелиные алгоритмы.

Магистерская программа Большие данные: инфраструктуры и методы решения задач. Дополнительная часть.

1. Архитектура распределенной инфраструктуры Hadoop. Парадигма распределенного программирования MapReduce. Архитектура YARN.
- Chuck Lam. Hadoop in Action Tom White. Hadoop: The Definitive Guide, 3rd Edition
- IBM Course: "Hadoop Fundamentals" (BD001) https://bigdatauniversity.com/learn/hadoop/
- Programming Pig: Dataflow Scripting with Hadoop, By Alan Gates, Publisher: O'Reilly Media
- Programming Hive: Data Warehouse and Query Language for Hadoop By Edward Capriolo, Dean Wampler, Jason Rutherglen, Publisher: O'Reilly Media
- Jaql documentation. http://www-01.ibm.com/support/knowledgecenter/SSPT3X_3.0.0/com.ibm.swg.i...
- Материалы лекций: http://synth_serv/synthesis/student/BigData/seminar-hadoop/hadoop2015
2. Общие характеристики NoSQL баз данных, и их преимущества. CAP теорема. Классификация NoSQL баз данных. Архитектура и модель данных HBase.
- Apache HBase web site: http://hbase.apache.org/
- George, Lars. HBase The Definitive Guide (O’Reilly 2011)
- "Brewer's CAP Theorem" posted by Julian Browne, January 11, 2009. http://www.julianbrowne.com/article/viewer/brewers-cap-theorem
- Материалы лекций: http://synth_serv/synthesis/student/BigData/seminar-hadoop/hadoop2015
3. Разрешение сущностей. Выявление дубликатов, удаление дубликатов, установление связей между сущностями из разных исходных коллекций.
- А.Е. Вовченко, Л.А. Калиниченко, Д.Ю. Ковалев. Методы разрешения сущностей и слияния данных в ETL-процессе и их реализация в среде Hadoop. Информатика и ее применения, т. 8, вып. 4, 2014.
- Peter Christen, Data Matching. Concepts and Techniques for Record Linkage, Entity Resolution, and Duplicate Detection. Springer Data-Centric Systems and Applications, 2012
- Материалы лекций: http://synth_serv/synthesis/student/BigData/seminar-information-extracti...
4. Слияние данных. Стратегии разрешения конфликтов. Функции разрешения конфликтов. Слияние данных на основе операции Union. Слияние данных на основе операции Join.
- А.Е. Вовченко, Л.А. Калиниченко, Д.Ю. Ковалев. Методы разрешения сущностей и слияния данных в ETL-процессе и их реализация в среде Hadoop. Информатика и ее применения, т. 8, вып. 4, 2014.
- J. Bleiholder, F. Naumann. Data Fusion. ACM Computing Survey 2009.
- Материалы лекций: http://synth_serv/synthesis/student/BigData/seminar-information-extracti...
5. Конъюнктивные запросы. Ответы, интерпретация запроса. Поглощение запросов. Ответы с учетом взглядов. Переписывание запросов. Гомоморфизм запросов, теорема о гомоморфизме запросов. Алгоритм проверки поглощения запросов, пример поглощения.
- Serge Abiteboul, Ioana Manolescu. Web Data Management. Cambridge University Press, 2011. - http://webdam.inria.fr/Jorge/html/wdmch10.html (раздел 9.2)
6. Подход Local-As-View к виртуальной интеграции реляционных ресурсов. Bucket-алгоритм переписывания запросов. Корректность переписывания. Примеры локальной и глобальной схем, взглядов (представлений), переписывания запроса.
- Serge Abiteboul, Ioana Manolescu. Web Data Management. Cambridge University Press, 2011. - http://webdam.inria.fr/Jorge/html/wdmch10.html (раздел 9.4)
7. Обмен данными – общая схема, формальная постановка задачи. Порождающие кортежи зависимости (tgd). Универсальные решения в обмене данными. Свойства универсальных решений. Процедура погони.
- Ronald Fagin, Phokion G. Kolaitis, Renée J. Miller, Lucian Popa: Data exchange: semantics and query answering. Theor. Comput. Sci. 336(1): 89-124 (2005) - http://dblab.cs.toronto.edu/project/dataexchange/docs/tcs05.pdf
- Phokion G. Kolaitis. A Tutorial on Schema Mappings & Data Exchange DEIS ’10. -http://synthesis.ipi.ac.ru/synthesis/student/BigData/master-course-warehousing/DW16-2-DataExchange.pdf
8. Многомерная модель данных. Факты, измерения, параметры. Иерархия измерений. Подходы к реализации многомерной модели. Схемы звезда и снежинка.
- Кристиан Йенсен, Торбен Бэч. Технология многомерных баз данных. http://www.osp.ru/os/2002/01/180958/
- Christian S. Jensen,Torben Bach Pedersen, and Christian Thomsen. Multidimensional Databases and Data Warehousing. Morgan & Claypool, 2010. (раздел 2)
- Data Warehouse Design. - http:// synthesis.ipi.ac.ru /synthesis/student/BigData/lectures/DW%204%20Data%20Warehouse%20Design.pdf (разделы Logical Modeling, Physical Modeling)
9. Иерархические и спектральные алгоритмы обнаружения сетевых сообществ.
- M. Newman. Networks: an Introduction. Oxford University Press, 2010. Глава 11.
10. Модели эпидемий.
- M. Newman. Networks: an Introduction. Oxford University Press, 2010. Глава 17
11. Доверительные интервалы для среднего, для доли. Построение доверительного интервала на основе бутстрепа. Связь между проверкой гипотез и доверительными интервалами.
- Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. 2007. (Глава 11)
12. Проверка гипотез. Ошибки I и II рода. Достигаемый уровень значимости. Критерий согласия Пирсона (хи-квадрат).
- Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. 2007. (Главы 12, 13)
13. Поиск аномалий в данных с помощью методов кластеризации. Постановка задачи. Методы DBSCAN, K-means и другие.
- К. В. Воронцов. Машинное обучение, курс лекций. Курс - https://goo.gl/uMEYfp, слайды: https://goo.gl/poJpyi, видео: https://goo.gl/QtdMFz
14. Поиск аномалий во временных рядах. Постановка задачи. Авторегрессионная модель ARMA
- C. Aggarwal. Outlier analysis. Springer, 2013. (Глава 8)
15. Модели прогнозирования на основе деревьев решений. Алгоритмы CHAID, CART, C4.5: критерии поиска разбиений, параметры ограничения роста и обрубания дерева.
- Hastie, Tibshirani and Friedman. The Elements of Statistical Learning. – Springer-Verlag, 2009. – 763 pages. http://statweb.stanford.edu/~tibs/ElemStatLearn/
16. Классическая линейная модель регрессии: описание модели, основные ограничения, метод наименьших квадратов
- Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ. – М.: Наука, 1963
- Болч К., Хуань К.Дж. Многомерные статистические методы для экономики. – М.: Статистика, 1979.
- Кулаичев А.П. Методы и средства комплексного анализа данных. – М.: Форум-Инфра-М, 2006.
-----------------------------------------

Магистерская программа «Суперкомпьютерные технологии моделирования Земной системы»

1. Обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения второго порядка эллиптического типа.
2. Метод Ритца приближенного решения эллиптического уравнения второго порядка.
3. Вариационная постановка задачи на собственные значения симметричного положительного операторного уравнения.
4. Метод Ритца в проблеме вычисления собственных значений задачи Дирихле.
5. Метод конечных элементов для обыкновенного дифференциального уравнения.
6. Метод конечных элементов для задачи об изгибе упругого бруса.
7. Матрица жесткости и матрица массы линейного конечного элемента.
8. Теорема о сходимости метода конечных элементов на линейных треугольниках в случае уравнения Пуассона.
9. Вывод уравнения Кортевега-де Фриза.
10. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка.
11. Групповой анализ для уравнения теплопроводности.
12. Уравнение Бюргерса и его линеаризация.
13. Метод кусочно-постоянных аппроксимаций решения интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода.
14. Метод конечных элементов решения интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода.
15. Метод решения сингулярного интегрального уравнения с ядром Гильберта на основе квадратурных формул интерполяционного типа.
16. Численное решение интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода в случае неоднозначной разрешимости соответствующего однородного уравнения.
17. Методы организации параллельных вычислений при суперкомпьютерном решении сеточных задач.

18. Сопряженные, симметричные и самосопряженные операторы (случай неограниченных операторов).
19. Типы разрешимости операторных уравнений. Условия однозначной и плотной разрешимости.
20. Методы теории экстремальных задач.
21. Методы теории некорректных задач.
22. Методы общей теории итерационных процессов.
23. Уравнения термогидродинамики атмосферы. Граничные условия. Системы координат. Требования к численным методам.
24. Уравнения термогидродинамики океана. Граничные условия. Системы координат. Требования к численным методам.
25. Математические модели геофизической турбулентности. Проблема турбулентного замыкания.
26. Математические модели Земной системы. Структура и взаимодействие блоков, постановки численных экспериментов.
27. Параллельные вычисления. Примеры параллельной реализации типовых дискретизированных задач математической физики, оценки ускорения.
28. Технология параллельного программирования MPI. Достоинства и ограничения.
29. Технология параллельного программирования OpenMP. Достоинства и ограничения.
30. Технологии параллельного программирования на графических сопроцессорах.
31. Полулагранжев метод для численного решения одномерного уравнения переноса–сущность, критерий устойчивости, достоинства и недостатки. Принципы построения варианта полулагранжева метода, сохраняющего массу переносимого вещества.
32. Линейные монотонные схемы для гиперболических уравнений. Теорема Годунова. Примеры линейных монотонных схем.
33. Нелинейные монотонные схемы для гиперболических уравнений. Пример построения. Схема Лакса-Вендроффа.
34. Нелинейная неустойчивость. Уравнение Бюргерса. Пример неустойчивой схемы. Построение устойчивой разностной схемы для этого уравнения.
35. Постановка задач анализа данных: задачи регрессии, классификации. Основные типы данных. Обучение с учителем, обучение без учителя.
36. Линейная регрессия, логичестическая регрессия, метод опорных векторов, решающие деревья. Нейронные сети (определение).
37. Общие идеи построения тензорных разложений в форматах тензорного поезда, Таккера, каноническом. Понятия рангов во всех случаях, возможности сжатия данных при использовании тензорных разложений.

Список рекомендованной литературы
1. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М. Наука, 1970.
2. Андреев В.Б. Лекции по методу конечных элементов. М. МАКС Пресс, 2015.
3. Ибрагимов Н.Х. Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования. М. Физматлит, 2012.
4. Сетуха А.В. Численные методы в интегральных уравнениях и их приложения. М. АРГАМАК-МЕДИА, 2014.
5. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления- СПб. БХВ-Петербург, 2002.
6. Головизнин В.М., Зайцев М.А., Карабасов С.А., Короткин И.А. Новые алгоритмы вычислительной гидродинамики для многопроцессорных вычислительных комплексов. М.: Издательство Московского университета, 2013.
7. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей̆. Пер. с англ. М.: Мир, 1991г., в 2 т.
8. Bishop C.M. Pattern Recognition and Machine Learning. —Springer,2006.—738p.
9. HastieT., Tibshirani R., Friedman J. The Elements of Statistical Learning.Springer,2014. — 739 p.
10. George, J.W., H.Liu. Computer Solution of Large Sparse Positive Definite Systems. Prentice-Hall, New Jersey, 1981. --- 324 pp.
11. S. Schaffer. A semicoarsening multigrid method for elliptic partial differential equations with highly discontinuous and anisotropic coefficients. SIAM J. Sci. Comput. 20(1): 228--242, 1998.
12. H.-R. Fang, Y. Saad. Two classes of multisecant methods for nonlinear acceleration. Numer.Lin.Alg. Appl. 16(3): 197--221, 2009. doi:10.1002/nla.617.
13. James R. Holton, Gregory J. Hakim. An Introduction to Dynamic Meteorology. Academic Press. ISBN 978-0-12-384866-6. 2013.
14. Дымников В.П., Залесный В.Б. Основы вычислительной геофизической гидродинамики. – М.: ГЕОС, 2019. – 448 с.

---------------------------------------------------------------------

Магистерская программа Математическое и программное обеспечение защиты информации. Дополнительная часть.

1. Формальные модели шифров. Примеры. Симметрические и асимметрические криптосистемы. Стойкость шифров. Совершенные шифры. Теорема Шеннона.
2. Делимость в кольце целых чисел. Алгоритм Евклида. Обоснование криптосистемы RSA.
3. Конечные группы. Смежные классы и фактор-группа. Теорема Лагранжа.
4. Примитивные многочлены. Построение ЛРП максимального периода.
5. Конечные поля. Строение конечных полей. Теорема о примитивном элементе. Алгоритм вычисления дискретного логарифма.

6. Основы эллиптической криптографии. Группы точек эллиптической кривой. Теорема Хассе.
7. Стандарты шифрования ГОСТ-28147-89 и AES-2001
8. Протоколы аутентификации и ЭЦП. Общие принципы. Стандарты ГОСТ-Р-34-10-94, ГОСТ-Р-34-10-2001, DSS.
9. Протоколы аутентификации и хеш-функции. Хеш-алгоритм HD-5. Стандарты Р-34-10-94 и SHA.
10. Протоколы распределения ключей. Протокол передачи секретных сеансовых ключей. Протокол Kerberos. Открытое распределение секретных ключей.
11. Протоколы разделения секрета. Пороговые схемы. Групповой и индивидуально-групповой протокол разделения секрета.

Магистерская программа "Статистический анализ данных и прогнозирование рисков". Дополнительная часть.
1. Независимые случайные величины. Критерий независимости случайных величин.
2. Моменты случайных величин. Свойства математических ожиданий и дисперсий.Неравенства Маркова, Чебышева и Иенсена.
3. Характеристические функции. Центральная предельная теорема.
4. Порядковые статистики. Эмпирическая функция распределения. Теорема Гливенко.
5. Точечные и интервальные оценки неизвестных параметров распределений. Свойства точечных оценок (несмещенность, состоятельность, эффективность, оптимальность). Два метода построения точечных оценок (метод максимального правдоподобия, метод моментов).
6. Основные понятия о проверке статистических гипотез. Лемма Неймана-Пирсона.
7. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения.
8. Виды сходимостей последовательностей случайных величин.
9. Сравнение рисков. Функция полезности и ее свойства.
10. Динамическая модель страхового риска. Формула Поллачека—Хинчина для вероятности разорения.

Магистерская программа Математическое и информационное обеспечение экономической деятельности. Дополнительная часть.

1. Задача линейного программирования: основные свойства, теория двойственности, симплекс-метод
2. Выпуклые множества и выпуклые функции.
3. Задача оптимизации на выпуклом множестве.
4. Задача математического программирования: принцип Лагранжа, теорема Куна-Таккера.
5. Антагонистическая игра. Седловые точки и решение игры.
6. Основная теорема матричных игр.
7. Принцип уравнивания в задаче оптимального распределения ресурсов.
8. Лемма Гиббса.
9. Основные характеристики продолжительности жизни.
10. Свойства случайной величины остаточной жизни.
11. Единовременные нетто-премии в страховании жизни.Магистерская программа Математические и компьютерные методы обработки изображений. Дополнительная часть.

1. Синтез изображений с помощью растеризации. Свойства алгоритма. Графический конвейер, применение геометрических преобразований. Графический конвейер в OpenGL.
2. Локальные и глобальные модели освещения. Понятие о ДФО, расчет излучения точки поверхности. Модели освещения Фонга и Ламберта.
3. Синтез изображений методом классической излучательности.
4. Трассировка лучей. Алгоритмы поиска пересечений.
5. Сопоставление изображений с помощью локальных характеристических точек. Методы
извлечения инвариантных к масштабу и повороту характеристических точек, дескрипторы. Робастные методы оценки параметров геометрических моделей для фильтрации ложных соответствий.
6. Классификация изображений и выделение объектов с помощью алгоритмов машинного обучения.
7. Марковское случайное поле и поле Гиббса. Теорема Хаммерсли-Клиффорда. Алгоритмы вывода в случайном поле на основе разрезов графов. Применение случайных полей для анализа изображений.
8. Геометрические свойства многокамерных систем. Перспективная проекция, эпиполярная геометрия. Оценка параметров геометрических моделей для одно- и многокамерных систем.
9. Дискретизация сигналов. Теорема Котельникова.
10. Соотношение неопределенностей для временной и частотной дисперсий сигнала.
11. Дискретное преобразование Фурье. Спектральный анализ с использованием оконного преобразования Фурье. Размытие спектра. Частотно-временное разрешение.
12. Свёртка. Быстрые алгоритмы вычисления свёртки. Простейшие двумерные фильтры для обработки изображений. Методы подавления шума на изображениях. Типы шумов.
13. Методы энтропийного сжатия. Принцип работы арифметического сжатия и его сравнение со сжатием Хаффмана. Суть словарных методов. Примеры сортирующих преобразований.
14. Классификация методов сжатия изображений. Алгоритм фрактального сжатия изображений (математическая основа и устройство алгоритма). Достоинства wavelet и JPEG-2000.
15. Цветовые пространства в видео. Методы ускорения компенсации движения. Устройство простого видеокодека.
16. Методы автоматического построения и обработки карт глубины. Кроссбилатеральная фильтрация. Принцип работы автостереоскопических дисплеев.

Магистерская программа Математические модели сложных систем: теория, алгоритмы, приложения. Дополнительная часть.

1. Задача динамического программирования для гладкого интегрального функционала на конечном интервале времени. Функция цены. Принцип оптимальности. Уравнение Беллмана.
2. Линейно-квадратичные задачи оптимального управления. Дифференциальное уравнение Риккати.
3. Уравнение атмосферной диффузии. Задача наблюдаемости для уравнения атмосферной диффузии. Задача минимизации критерия при заданных ограничениях. Решение уравнения диффузии в простейших случаях.
4. Управляемость и наблюдаемость бесконечномерных систем. Наблюдаемость систем с распределенными параметрами. Различные виды сенсоров и наблюдаемости. Исследование наблюдаемости системы с неподвижным точечным сенсором.
5. Байсовские оценки. Оценки максимального правдоподобия. Их свойства.
6. Понятие состояния стохастической системы. Фильтер Калмана. Гарантированный аналог фильтра Калмана.
7. Формулировка понятия многокритериальной оптимизации, как теоретической основы выбора решений. Множество допустимых решений и множество достижимых критериальных векторов. Понятия оптимальности по Парето и по Слейтеру.
8. Свертки критериев и их свойства. Свертки, неубывающие и возрастающие по бинарному отношению строгого предпочтения. Линейная свертка и свертка Гермейера; их свойства.
9. Итеративные многокритериальные процедуры поиска наиболее предпочтительного решения. Две фазы итеративной процедуры. Структуризованные процедуры. Процедура Джоффриона-Дайера как пример структуризованной процедуры.
10. Математическая модель взаимодействия двух видов «хищник-жертва» Лотка-Вольтерра.
11. Математическая модель взаимодействия двух конкурирующих видов.
12. Модель межотраслевого баланса В.В.Леонтьева. Продуктивные матрицы. Критерии продуктивности. Теорема Фробениуса-Перрона. Свойства числа Фробениуса-Перрона. Неразложимые матрицы. Теорема об устойчивости примитивных матриц.
13. Модели олигополистической конкуренции. Теорема Нэша.
14. Понятие условного математического ожидания. Мартингалы, суб- и супермартингалы. Марковские моменты и их свойства.
15. Ценообразование и хеджирование. Самофинансируемость стратегий. Информационная эффективность рынка. Формализация наличия и отсутствия арбитража.

Литература:

1. Х. Квакернаак, Р. Сиван, Линейные оптимальные системы управления – М.: Мир, 1977.
2. W.H.Fleming, H.M. Soner, Controlled Markov Processes and Viscosity Solutions — Boston: Springer, 1993.
3. А. Б. Куржанский, И. Ф. Сивергина. Метод гарантированных оценок и задачи регуляризации для эволюционных систем // ЖВМ и МФ, 1992, Т. 32, № 11, С. 1720-1733.
4. A. B. Kurzhanski, A. Yu. Khapalov. An observation theory for distributed systems (with Khapalov) // Journal of Math. Systems, Estimation and Control. 1991. V. 1. N. 3. P. 389-440.
5. О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.
6. Эйкхофф П. «Основы идентификации систем управления.» М: Мир, 1975 г.
7. Острем К. «Введение в стохастическую теория управления.» М: Наука, 1973 г.
8. А. В. Лотов, И. И. Поспелова. «Лекции по курсу Многокритериальные задачи принятия решений». М.: МАКС-Пресс, 208.
9. Т. Ю. Резниченко. Лекции по математическим моделям в биологии. Москва-Ижевск, 2002.
10. А. С. Братусь, А. С. Новожилов. Математические модели экологии и динамические системы с непрерывным временем. М.: МАКС-Пресс, 2004.
11. Ашманов С. А. Введение в математическую экономику.-М.,Наука,1984.
12. Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика.-М.,Мир, 1972.
13. Ширяев А.Н. Вероятность, М., Наука, 1989.
14. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. - т. 1 (введение) т. 2, М. Фазис 1998.
15. Мельников А.В. Финансовые рынки: стохастический анализ и расчет
производных ценных бумаг. - М. Изд-во ТВП, 1997.

1. Задача синтеза схем для функций из специальных классов и нижние мощностные оценки соответствующих функций Шеннона. Принцип локального кодирования О. Б. Лупанова и его применение к инвариантным классам С. В. Яблонского.
2. Теорема В. М. Храпченко и сложность линейной функции в классе параллельно-последовательных схем.
3. Задача логического синтеза СБИС. Основные подходы к двухуровневой и многоуровневой оптимизации.
4. Клеточные схемы как «грубая» топологическая модель СБИС. Порядок функции Шеннона для площади клеточных схем и асимптотика площади дешифратора.
5. Метод ветвей и границ, его применение для решения задачи синтеза топологии СБИС.
6. Методы вычисления кратчайших путей на графе и их применение для проектирования топологии СБИС.
7. Матричная теорема Кирхгофа о деревьях.
8. Построение единичных диагностических тестов относительно константных неисправностей входов схем и оценки длины таких тестов.
9. Классификация булевых уравнений. Алгоритм решения уравнения с одним неизвестным в произвольной булевой алгебре.
10. Классификация и особенности реализации современных SAT-солверов.
11. Назначение языков описания аппаратуры. Описание объекта проекта (модуля) на языке VHDL или Verilog. Пример использования параллельных и последовательных операторов.
12. Верификация моделей программ. Размеченные системы переходов. Темпоральная логика деревьев вычислений CTL. Алгоритм проверки выполнимости формул CTL на конечных размеченных системах переходов.
13. Уравнения модифицированного узлового анализа для RC-схем.
14. Выбор итерационного метода для решения больших разреженных линейных систем в зависимости от типа матрицы коэффициентов. Типовые методы предобусловливания: диагональные, блочно-диагональные и треугольные предобусловливатели, методы неполного разложения.

Литература
1. Лупанов О. Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд во МГУ, 1984.
2. Яблонский С. В. Элементы математической кибернетики. М.: Высшая школа, 2007.
3. Ложкин С. А., Марченко А. М. Математические модели и методы синтеза СБИС. http://mathcyb.cs.msu.su
4. Гаврилов Г. П., Романов Д. С. Методы линейной алгебры в теории графов. М.: Изд-во МГУ, 1996.
5. Редькин Н. П. Надежность и диагностика схем. М.: Изд-во МГУ, 1992.
6. Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М.: Просвещение, 1968.
7. Handbook of satisfiability / Editors: A. Biere, M. Heule, H. v. Maaren, T. Walsh. IOS Press, 2009.
8. Поляков А. К. Языки VHDL и Verilog в проектировании цифровой аппаратуры. М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2003.
9. Кларк Э., Грамберг О., Пелед Д. Верификация моделей программ (model checking). Издательство МЦНМО, 2004.
10. Попов В. П. «Основы теории цепей». М.: Высшая школа, 1998.